罗小明——例谈含对数条件式求取值范围 或最值的典型问题

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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例谈含对数条件式求取值范围

或最值的典型问题

湖南省益阳市牌口学校       罗小明

    我们不难发现近年全国各地高考无论是客观题还是综合题比较频繁地出现含对数式求解或证明题.这种题型已经成为考试的热点，当然此类问题具有一定的思维量，也是考查学生综合素养的重要题型，我们在平常的教学中必须引起高度重视，并总结好此种类型问题的解题经验，了解更多的应对方法，帮助学生提升综合解题的能力.下面我向大家介绍四个典型问题，希望对您有所启示和帮助.

一、“恒成立”问题

方法点拨：“恒成立问题”往往需要考虑函数的最大或最小值，常见方法是将不等式移项整理，使得一边为0，从而构造函数来解决问题.这里我们通过两次构造函数，利用求导的方法来得出函数的最值，中间还须对字母m进行分类讨论.由不等式n≤m-mlnm变形得出（n-2）/m≤1-lnm-2/m，向待求式子靠拢是解决问题难于想到的地方，需要平常积累解题经验.

二、“对数单身狗”问题

方法点拨：所谓“对数单身狗问题”就是对数式前含有变量时，通常在构造函数前要利用已知条件或者隐含条件设法将它前面的系数变成常数，这样其导函数将变得更为简单.这里等价转化的第二步就考虑了对数函数的真数x＞0，在不等式两边同时除以x，将对数式前面的系数化为1，我们把它形象的比作“单身狗”.这样处理之后，再将导函数的分母变成恒为正，问题转化为只需考虑分子的正负性情况，且二次函数模型为大家所熟知，问题迎刃而解.

三、“零点之积”问题

方法点拨：本题属于分段函数问题，其中一个是含绝对值的对数函数，另一个是一般的一次函数.我们可以先把这个分段函数的图像画出来，然后利用数形结合思想来解决问题.这里我们可以发现一个非常重要且有用的结论“若|lga|=|lgb|,则ab=1”,对于底数为任意不等于1的正数，这个结论仍然成立.记住这样一些重要的结论，对提高解题速度大有裨益.

四、“平移+对称性”问题

方法点拨：本题与问题3类似，是问题3的变式，将含绝对值的对数函数f（x）=|log₂x|的图像向右平移1个单位得到函数f（x）=|log₂（x-1）|的图像,仍旧采取数形结合思想来解决问题.应用含绝对值的对数函数的重要性质“|log₂（x₁-1）|=|log₂（x₂-1）|，x₁与x₂在含绝对值的对数函数图像与x轴交点的两侧，则（x₁-1）（x₂-1）=1”，体现了整体平移思想.于是得到x₁+x₂=x₁x₂,为下一步运算带来极大的方便.另外利用抛物线的对称性不难得到x₃+x₄=9，从而把较为复杂的问题简单化，凸显了非常重要的数学思想.

罗小明，中共党员，中学高级教师，湖南省教育学会中学数学教学研究委员会理事，曾担任益阳市赫山区初中数学教师工作坊研修培训辅导者。长期担任毕业班班主任和学校教育教学管理工作，担任高中毕业班教学四届，初中毕业班教学二十届。辅导学生参加数学竞赛有三十余人次荣获国家二等奖和省市一等奖，撰写的教学论文有多篇荣获省市一等奖，毕业班教学和学校管理经验在市区推广。他的教育理念是：从教的第一天开始就要做到“老老实实做人，踏踏实实做事，坚持教育教学创新与改革，做一名人民满意的教师。”现在是桃李满天下，行行有英才，深受学生与家长爱戴，深受领导与同行的信赖，多次立功受奖。

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